Introdução sobre a origem dos números
Você já usou muitas vezes os números,
mas será que já parou para pensar sobre:
a. O modo como surgiram
os números?
b. Como foram as
primeiras formas de contagem?
c. Como os números foram
criados, ou, será que eles sempre existiram?
Para descobrir sobre a origem dos
números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos
religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo
que tenha gerado os números.
Os historiadores são auxiliados por
diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos
de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de
diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.
Olhando ao redor, observamos a grande
presença dos números.
Quanto mais voltarmos na história,
veremos que menor é a presença dos números.
O Início do processo de contagem
Os homens primitivos não tinham
necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era
retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o
desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador
e coletor de alimentos para fixar-se no solo.
O homem começou a plantar, produzir
alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais,
usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais
domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.
As primeiras formas de agricultura de
que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é
denominada Oriente Médio.
A agricultura passou então a exigir o
conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram
a surgir as primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias
formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros
e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido
do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim
eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha
que era armazenada em um saco.
No caso das pedrinhas, cada animal que
saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco
de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a
correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma
pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum
dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais
uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus,
que significa pedrinha.
A correspondência unidade a unidade não
era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas
paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.
Os talhes nas barras de madeira, que
eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século
XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda
a correspondência unidade a unidade.
Representação numérica
Com o passar do tempo, as quantidades
foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada
povo tinha a sua maneira de representação.
A faculdade humana natural de
reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro
elementos. Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que
alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto,
um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção.
O senso numérico não pode ser
confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita
de um processo mental.
"Distingüimos, sem erro e numa
rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. mas aí para nosso poder
de identificação dos números." História Universal dos Algarismos",
Georges Ifrah.
Temos também, alguns animais, ditos
irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico
onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro
unidades. Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade de
reconhecer quantidades.
Alguns símbolos antigos
No começo da história da escrita de
algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove
números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:
I
|
II
|
III
|
IIII
|
IIIII
|
IIIIII
|
IIIIIII
|
IIIIIIII
|
IIIIIIIII
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Depois este método foi mudado, devido à
dificuldade de se contar mais do que quatro termos:
I
|
II
|
III
|
IIII
|
IIII
I |
IIII
II |
IIII
III |
IIII
IIII |
IIII
IIII I |
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Um dos sistemas de numeração mais
antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de
base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:
Outro sistema de numeração muito
importante foi o da Babilônia, criado a aproximadamente 4 mil anos.
Algumas das primeiras formas de
contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas
aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33.
O ábaco
O ábaco, em sua forma geral, é uma
moldura retangular com fileiras de arame, cada fileira representando uma classe
decimal diferente, nas quais correm pequenas bolas
No princípio, os sistemas de numeração
não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para
facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações
orientais e ocidentais. No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de
suánpan, que significa bandeja de calcular.
O Sistema de numeração Indo-Arábico
Nosso sistema de numeração surgiu na
Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.
O primeiro número inventado foi o 1 e
ele significava o homem e sua unicidade, o segundo número 2, significava a
mulher da família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos,
multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter ocorrido por acaso.
Inglês
|
Francês
|
Latim
|
Grego
|
Italiano
|
Espanhol
|
three
|
trois
|
tres
|
treis
|
tre
|
tres
|
Sueco
|
Alemão
|
Russo
|
Polonês
|
Hindu
|
Português
|
tre
|
drei
|
tri
|
trzy
|
tri
|
três
|
Notas históricas sobre a atual notação
posicional
Foi no Norte da Índia, por volta do
século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do
atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes
(a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).
Antes de produzir tal sistema, os
habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração
rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III antes de Cristo.
Esta numeração tinha uma característica
do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9
o que significava que um número como o
5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo independente.
Por muito tempo, estes algarismos foram
denominados algarismos arábicos, de uma forma errada.
Ainda existia nesta época a dificuldade
posicional e os hindus passaram a usar a notação por extenso para os números,
pois não podiam exprimir grandes números por algarismos.
Sem saber, estavam criando a notação
posicional e também o zero.
Cada algarismo tinha um nome:
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
eka
|
dvi
|
tri
|
catur
|
pañca
|
sat
|
sapta
|
asta
|
nava
|
Quando foi criada pelos hindús a base
10, cada dezena, cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual:
10 = dasa
100 = sata
1.000 = sahasra
10.000 = ayuta
100.000 = laksa
1.000.000 = prayuta
10.000.000 = koti
100.000.000 = vyarbuda
1.000.000.000 = padma
Ao invés de fazer como hoje, de acordo
com as potências decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem
crescente das potências de 10 por volta do século IV depois do nascimento de
Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas
centenas e assim por diante. O número 3.709 ficava:
9
|
700
|
3000
|
nove
|
sete centos
|
três mil
|
nava
|
sapta sata
|
tri sahasra
|
Poderiamos escrever o número 12.345
como
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
pois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 +
10.000, logo:
5
= pañca
40
= catur dasa
300
= tri sata
2.000
= dvi sahasra
10.000 = ayuta
pañca caturdasatrisatadvisahasraayuta
Esta já era uma forma especial.
Em virtude da grande repetição que
ocorria com as potências de 10, por volta do século V depois do nascimento de
Jesus Cristo, os matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a notação
retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes, assim o número
12.345 que era escrito como:
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
passou a ser escrito apenas:
54321 = pañca catur tri dvi dasa
12345 = 5 +4×10 +3×100 +2×1000 +1×10000
e esta se transformou em uma notação
falada e escrita posicional excelente para a época, mas começaram a acontecer
alguns problemas como escrever os números 321 e 301.
321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100
321 = dasa dvi tri
301 = 1 + 3 x 100
301 = dasa tri
É lógico que este último número não
poderia ser o 31, pois:
31 = 1 + 3 x 10
31 = dasa tri
No número 301 faltava algo para
representar as dezenas.
Para construir este material, usamos
algumas partes do excelente livro: "Os números: A história de uma grande
invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985, com a permissão
da Editora.
Notas históricas sobre a criação do
zero
Tendo em vista o problema na construção
dos números como 31 e 301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio
(ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um acento agudo e a
letra u tem um traço horizontal sobre ela).
Dessa forma foi resolvido o problema da
ausência de um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim
passaram a escrever:
301 = 1 + ? x 10 + 3
x 100
301 = dasa sunya tri
301 = dasa sunya tri
Os hindus tinham acabado de descobrir o
zero.
Porém, estas notações só serviam para
as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos
o zero bem como o atual sistema de notação posicional.
Um dos primeiros locais onde aparece a
notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga,
publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um
movimento religioso hindú para enaltecer as suas próprias qualidades
científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713 escrito
claramente:
triny
|
ekam
|
sapta
|
sat
|
trini
|
dve
|
catvary
|
ekakam
|
três
|
um
|
sete
|
seis
|
três
|
dois
|
quatro
|
um
|
Escrever tais números na ordem
invertida, fornece:
um
|
quatro
|
dois
|
três
|
seis
|
sete
|
um
|
três
|
1
|
4
|
2
|
3
|
6
|
7
|
1
|
3
|
Números como 123.000 eram escritos
como:
sunya sunya sunya tri dvi dasa
que significa:
zero zero zero três dois um
que escrito na ordem invertida fornece:
um dois três zero zero zero
No texto existe a palavra hindú sthanakramad
que significa "por ordem de posição".
Observamos que tal notação posicional
já era então conhecida no quinto século de nossa era por uma grande quantidade
de cientistas e matemáticos.
Para escrever este material, usamos
alguns tópicos do excelente livro: "Os números: A história de uma grande
invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985.
Notação Posicional
O sistema de numeração posicional
indiano surgiu por volta do século V. Este princípio de numeração posicional já
aparecia nos sistemas dos egípcios e chineses.
No sistema de numeração indiana não
posicional que aparece no século I não existia a necessidade do número zero.
Notação (ou valor) posicional é quando
representamos um número no sistema de numeração decimal, sendo que cada
algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele
ocupa na representação do numeral.
Mudando a posição de um algarismo,
estaremos alterando o valor do número. Por exemplo, tomemos o número 12.
Mudando as posições dos algarismos teremos 21.
12 = 1 × 10 + 2
21 = 2 × 10 + 1
21 = 2 × 10 + 1
O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso
matemático parece ter sido criado pelos babilônios. Os documentos mais antigos
conhecidos onde aparece o número zero, não são anteriores ao século III antes
de Cristo. Nesta época, os números continham no máximo três algarismos.
Um dos grandes problemas do homem
começou a ser a representação de grandes quantidades. A solução para isto foi
instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais indo-arábicos e a
maioria dos outros sistemas de numeração usam a base dez, isto porque o princípio
da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo
normal.
Na base dez, cada dez unidades é
representada por uma dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.
A base dez já aparecia no sistema de
numeração chinês.
Os sumérios e os babilônios usavam a
base sessenta.
Alguma vez você questionou sobre a
razão pela qual há 360 graus em um círculo? Uma resposta razoável é que
360=6x60 e 60 é um dos menores números com grande quantidade de divisores, como
por exemplo:
D(60) = { 1, 2, 3, 4,
5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Os indianos reuniram as diferentes
características do princípio posicional e da base dez em um único sistema
numérico. Este sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos
árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.
Nosso sistema de numeração retrata o
ábaco. Em cada posição que um número se encontra seu valor é diferente.
O Sistema Romano de Numeração
O sistema de numeração Romano é um
sistema decimal, ou seja, sua base é dez. Este sistema é utilizado até
hoje em representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de relógios
antigos, nomes de reis e papas e outros tipos de representações oficiais em
documentos. Estas eram as primeiras formas da grafia dos algarismos romanos.
Tal sistema não permite que sejam
feitos cálculos, não se destinavam a fazer operações aritméticas mas apenas
representar quantidades. Com o passar do tempo, os símbolos utilizados pelos
romanos eram sete letras, cada uma com um valor numérico:
Letra
|
I
|
V
|
X
|
L
|
C
|
D
|
M
|
Valor
|
1
|
5
|
10
|
50
|
100
|
500
|
1000
|
Leitura
|
Um
|
Cinco
|
Dez
|
Cinquenta
|
Cem
|
Quinhentos
|
Mil
|
Estas letras obedeciam aos três
princípios:
1. Todo símbolo numérico
que possui valor menor do que o que está à sua esquerda, deve ser somado ao
maior.
VI = 5 + 1 = 6
XII = 10 + 1 + 1 = 12
CLIII = 100 + 50 + 3 = 153
XII = 10 + 1 + 1 = 12
CLIII = 100 + 50 + 3 = 153
2. Todo símbolo numérico
que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído do maior.
IX = 10 - 1 = 9
XL = 50 - 10 = 40
VD = 500 - 5 = 495
XL = 50 - 10 = 40
VD = 500 - 5 = 495
3. Todo símbolo numérico
com um traço horizontal sobre ele representa milhar e o símbolo numérico que
apresenta dois traços sobre ele representa milhão.
Quando enfrentamos situações em que queremos saber
"quantos", nossa primeira atitude é contar. Mas os homens que viveram
há milhares de anos não conheciam os números nem sabiam contar. Então como
surgiram os números?
Para responder a essa pergunta precisamos ter uma
idéia de como esses homens viviam e quais eram suas necessidades. Naquele
tempo, o homem, para se alimentar, caçava, pescava e colhia frutos; para morar,
usava cavernas; para se defender, usava paus e pedras.
Mas esse modo de vida foi-se modificando pouco a
pouco. Por exemplo: encontrar alimento suficiente para todos os membros de um
grupo foi se tornando cada vez mais difícil à medida que a população aumentava
e a caça ia se tornando mais rara. O homem começou a procurar formas mais
seguras e mais eficientes de atender às suas necessidades.
Foi então que ele começou a cultivar plantas e
criar animais, surgindo a agricultura e o pastoreio, há cerca de 10.000 anos
atrás.
Os pastores de ovelhas tinham necessidades de
controlar os rebanhos. Precisavam saber se não faltavam ovelhas. Como os
pastores podiam saber se alguma ovelha se perdera ou se outras haviam se
juntado ao rebanho?
Alguns vestígios indicam que os pastores faziam o
controle de seu rebanho usando conjuntos de pedras. Ao soltar as ovelhas, o
pastor separava uma pedra para cada animal que passava e guardava o monte de
pedras.
Quando os animais voltavam, o pastor retirava do
monte uma pedra para cada ovelha que passava. Se sobrassem pedras, ficaria
sabendo que havia perdido ovelhas. Se faltassem pedras, saberia que o rebanho
havia aumentado. Desta forma mantinha tudo sob controle.
Uma ligação do tipo: para cada ovelha, uma pedra
chama-se, em Matemática, correspondência um a um.
Fazer correspondência um a um é associar a cada
objeto de uma coleção um objeto de outra coleção. Como você vê, o homem
resolveu seus primeiros problemas de cálculo usando a correspondência um a um.A
correspondência um a um foi um dos passos decisivos para o surgimento da noção
de número.
Afinal, alguma coisa em comum existia entre o monte
de pedras e o grupo de ovelhas: se a quantidade de pedras correspondia
exatamente à quantidade de ovelhas, esses dois conjuntos tinham uma propriedade
comum: o número de ovelhas ou pedras.
Mas, provavelmente o homem não usou somente pedras
para fazer correspondência um a um. É muito provável que ele tenha utilizado
qualquer coisa que estivesse bem à mão e nada estava mais à mão do que seus
próprios dedos. Certamente o homem primitivo usava também os dedos para fazer
contagens, levantando um dedo para cada objeto.
Entretanto, surgiu um novo problema: levantar dedos
permitia saber, no momento, a quantidade de objetos, mas não permitia guardar
essa informação. Era fácil esquecer quantos dedos haviam sido levantados.
Separar pedras já permitia guardar a informação por mais tempo, mas não era
muito seguro. Surgiu, portanto, o problema de registrar as quantidades.
A seguir, responda o seguinte problema e depois
verifique a resposta.
Pergunta: Imagine
que você esteja numa festa-baile. Em que momento é mais fácil saber se há mais
homens ou mais mulheres na festa: quando estão dançando, ou quando a música
para e as pessoas estão conversando pelo salão? Por quê?.
Nos museus de todo o mundo há inúmeros objetos com
marcas, pertencentes a épocas antigas. São pedaços de pau com talhos, pedaços
de barro com marcas e cordas com nós. Existem cavernas em cujas paredes podemos
ver marcas talhadas ou pintadas.
Isso parece indicar que o homem sentiu necessidade
de registrar o total de objetos que contava. E como se fazia isso? Para
registrar o total de objetos ele usava também a correspondência um a um: uma
marca para cada objeto.
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